Kompetensi
Kompetensi Dasar
Siswa dapat : Mengidentifikasikan dan Menghitung Panjang Garis Singgung Lingkaran

Materi

Pengantar
Garis Siggung Lingkaran
Lingkaran merupakan bentuk bidang datar yang mempunyai unsur-unsur, yaitu jari-jari, diameter, busur, tali busur, juring, tembereng dan apotema. Selain itu juga terdapat sudut pusat, sudut keliling, keliling lingkaran dan luas lingkaran. Unsur-unsur tersebut berada di dalam bidang lingkaran. Apakah ada unsur lain yang berkaitan dengan lingkaran, tetapi berada di luar bidang lingkaran?

Pengertian dan Sifat Garis Singgung Lingkaran

Garis Singgung Lingkaran
Perhatikan animasi berikut ini!
Pada sebuah lingkaran dengan titik pusat O, AB adalah garis tengah lingkaran (diameter).
Garis PQ tegak lurus dengan garis tengah AB.
Klik tombol play maka garis PQ akan bergeser ke arah titik A dan berhenti, maka garis PQ memotong lingkaran hanya di satu titik, yaitu titik A. Garis PQ pada posisi ini merupakan garis singgung. Garis PQ tegak lurus pada diameter atau jari-jari lingkaran. Titik A merupakan titik singgung.
Jika diklik lagi tombol play maka garis PQ akan bergeser ke arah titik B dan berhenti, maka garis PQ memotong lingkaran hanya di satu titik, yaitu titik B. Garis PQ pada posisi ini merupakan garis singgung. Garis PQ tegak lurus pada diameter atau jari-jari lingkaran. Titik B merupakan titik singgung.
Kesimpulan :
  1. Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran di satu titik.
  2. Pada sebuah titik pada lingkaran hanya dapat dibuat sebuah garis singgung lingkaran.
  3. Garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik singgungnya.
1. Bagaimanakah melukis garis singgung di sebuah titik pada lingkaran?
Perhatikan animasi berikut!
Titik A berada pada lingkaran yang berpusat di titik O. Klik tobol play maka akan terlihat tahap-tahap melukis garis singgung di titik pada lingkaran, yaitu:
  1. Buat garis OA, lalu diperpanjang ke titik P sehingga panjang AP > OA
  2. Buat lingkaran berpusat di titik A dengan jari-jarinya kurang dari OA, dan memotong garis OP di titik Q dan R.
  3. Buat busur lingkaran berpusat di titik Q dan R, dengan jari-jari yang sama ukurannya.
  4. Kedua busur berpotongan di titik S dan T
  5. Hubungkan titik S dan T dengan garis yang melalui titik A
  6. Garis ST (k) merupakan garis singgung di titik A dan tegak lurus pada garis OP
Garis k adalah garis singgung yang memotong lingkaran O di titik A dan hanya dapat dibuat sebuah garis singgung di titik A tersebut.

2. Bagaimanakah melukis garis singgung dari sebuah titik di luar lingkaran?
Perhatikan animasi berikut!
Titik P berada di luar lingkaran yang berpusat di titik O. Klik tombol play maka akan terlihat tahap-tahap melukis garis singgung dari titik di luar lingkaran, yaitu:
  1. Hubungkan titik O dan titik P dengan sebuah garis
  2. Buat busur lingkaran berpusat di titik O dan P dengan jari-jari yang sama, dan saling berpotongan di titik Q dan R
  3. Buat garis dari titik Q ke titik R, memotong OP di titik S
  4. Buat lingkaran berpusat di titik S dengan jari-jari sama dengan panjang OS, memotong lingkaran O di titik A dan titik B
  5. Hubungkan dengan garis dari  titik P ke titik A dan dari titik P ke titik B.
Garis PA dan PB adalah garis singgung yang dibuat dari titik P di luar lingkaran. Kedua garis memotong lingkaran O di titik A dan B.
Sehingga dari titik di luar lingkaran dapat dibuat dua buah garis singgung pada lingkaran tersebut. Kedua garis singgung tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran.

kembali ke atas

Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran
Pernahkah kamu memperhatikan sepeda? Pada sepeda terdapat rantai yang menghubungkan dua roda bergerigi (gir) yang ukurannya berbeda. Kedua roda bisa dikatakan sebagai dua lingkaran dan rantai yang melilit kedua roda tersebut merupakan garis singgungnya.
Garis singgung yang tepat menyinggung dua lingkaran disebut garis singgung persekutuan.

1. Kedudukan Dua Lingkaran
Dua lingkaran yang berbeda dapat digambarkan pada kedudukan yang berbeda. Macam-macam kedudukan dua lingkaran tersebut, yaitu:
a. Dua Lingkaran bersinggungan
Perhatikan gambar di atas, kedua lingkaran bersinggungan di dalam dan dapat dibuat sebuah garis singgung k pada titik singgung P. Garis k menyinggung kedua lingkaran di titik P. Kedudukan titik pusat lingkaran O, titik pusat lingkaran Q dan titik singgung P adalah segaris. Pada kedudukan dua lingkaran yang bersinggungan di dalam seperti tersebut hanya dapat dibuat sebuah garis singgung persekutuan.
Perhatikan gambar di atas, kedua lingkaran bersinggungan di luar dan dapat dibuat tiga garis singgung persekutuan. Garis k merupakan garis singgung persekutuan dalam. Garis l dan m merupakan garis singgung persektuan luar. Kedudukan titik pusat lingkaran O, titik pusat lingkaran Q dan titik singgung P adalah segaris.
b. Dua Lingkaran berpotongan
Perhatikan gambar!
Kedua lingkaran berpotongan dan dapat dibuat dua buah garis singgung persekutuan luar.
Garis k menyinggung kedua lingkaran di titik A dan B. Garis m menyinggung kedua lingkaran di titik C dan D.
c. Dua Lingkaran saling lepas
Perhatikan gambar!
Kedua lingkaran saling lepas dan pada kedudukan seperti ini dapat dibuat dua buah garis singgung persekutuan luar dan dua buah garis singgung persekutuan dalam. Garis k menyinggung kedua lingkaran di titik A dan B. Garis l menyinggung kedua lingkaran di titik C dan D. Garis k dan l merupakan garis singgung persekutuan luar.
Garis m menyinggung kedua lingkaran di titik E dan F, sedangkan garis n menyinggung kedua lingkaran di titik G dan H, sehingga garis m dan n merupakan garis singgung persekutuan dalam.
2. Garis Singgung Persekutuan luar
Bagaimanakah sifat-sifat garis singgung persekutuan luar dua lingkaran?
Perhatikan gambar!
Lingkaran O dan Q merupakan lingkaran yang saling lepas. AO adalah jari-jari lingkaran O dan BQ adalah jari-jari lingkaran Q. Garis k adalah garis singgung persekutuan luar yang menyinggung kedua lingkaran di titik A dan B, sehingga AB tegak lurus OA dan BQ. Segi empat ABQO berbentuk trapesium siku-siku.
3. Garis Singgung Persekutuan Dalam
Bagaimanakah sifat-sifat garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran?
Perhatikan gambar!
Lingkaran O da Q merupakan lingkaran yang saling lepas. AO adalah jari-jari lingkaran O dan BQ adalah jari-jari lingkaran Q. Garis k adalah garis singgung persekutuan dalam yang menyinggung kedua lingkaran di titik A dan B, sehingga AB tegak lurus OA dan BQ. OQ adalah garis hubung titik pusat lingkaran O dan lingkaran Q. AB berpotongan dengan OQ di titik C. Segitiga AOC sebangun dengan segitiga BCQ.
Contoh soal:
1.
Diketahui dua lingkaran berjari-jari 18 cm dan 23 cm. Jika jarak kedua titik pusat lingkaran tersebut adalah 37 cm, maka bagaimanakah kedudukan kedua lingkaran tersebut?
Jawab:
Jarak titik pusat 37 cm dan jumlah jari-jari kedua lingkaran = 18 + 23 = 41 cm.
Jarak titik pusat < jumlah jari-jari dua lingkaran, lihat gambar!
Sehingga kedudukan kedua lingkaran adalah saling berpotongan.
2.
Dua lingkaran saling bersinggungan di luar. Berapa banyak garis singgung persekutuan yang dapat dibuat?

Jawab:
Banyak garis singgung persekutuan yang dapat dibuat sebanyak 3 buah yang terdiri dari dua garis singgung persekutuan luar (garis l dan m) dan sebuah garis singgung persekutuan dalam (garis k). (lihat pada gambar!)


Menghitung Panjang Garis Singgung Lingkaran

Panjang Garis Singgung Lingkaran
Bagaimanakah kita dapat menghitung panjang garis singgung yang ditarik dari titik di luar sebuah lingkaran?
Perhatikan gambar!
Titik P di luar lingkaran, AP dan BP adalah garis singgung lingkaran O dengan jari-jari OA = OB = r. Garis singgung APOA dan garis singgung BP OB. AOP dan BOP adalah segitiga siku-siku, panjang AP dan BP dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras.
Bidang segi empat OAPB yang berbentuk layang-layang dan disebut dengan layang-layang garis singgung.
Kesimpulan:
Panjang dua garis singgung yang ditarik dari titik di luar sebuah lingkaran adalah sama.

Contoh Soal:
1.
Perhatikan gambar!
Lingkaran dengan titik pusat O berjari-jari 5 cm. Jarak titik O ke titik P adalah 13 cm. Berapa panjang garis singgung AP?
Jawab:
2. Perhatikan gambar!

AOBP merupakan layang-layang garis singgung pada lingkaran dengan titik pusat O berjari-jari 8 cm. Jarak titik O ke titik P adalah 17 cm.
Tentukanlah:
a. Panjang garis BP
b. Luas OBP
c. Luas layang-layang AOBP
d. Panjang talibusur AB
Jawab:

Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar
Bagaimanakah kita dapat menghitung panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran? Perhatikan pada gambar! Lingkaran O dan Q adalah dua lingkaran saling lepas, jari-jari lingkaran O adalah r1 dan jari-jari lingkaran Q adalah r2. Garis OQ menggambarkan jarak titik pusat kedua lingkaran dengan panjang d cm. AB garis singgung persekutuan luar dengan panjang k cm.
Pada animasi, terlihat garis AB digeser ke ke garis SQ sejauh BQ atau sejauh r2, maka terbentuk segitiga siku-siku SQO. Panjang SQ dapat dihitung dengan teorema Pythagoras, yaitu:
Karena SQ merupakan hasil pergeseran garis singgung persekutuan luar AB, maka panjang SQ = panjang AB, sehingga panjang garis singgung persekutuan luar AB adalah:
AB = k cm
OQ = d cm, maka panjang garis singgung persekutuan dalam dapat ditulis sebagai berikut:
Contoh Soal:

1.
Perhatikan gambar!
Lingkaran dengan titik pusat O berjari-jari 4 cm dan lingkaran dengan titik pusat Q berjari-jari 12 cm. Jarak titik O ke titik Q adalah 17 cm. Berapa panjang garis singgung AB?
Jawab:
2.
 Perhatikan gambar!

Lingkaran bertitik pusat M berjari-jari 4 cm berhimpit dengan lingkaran bertitik pusat N berjari-jari 9 cm.
Berapa panjang garis singgung PQ?
Jawab:
Diketahui jari-jari kedua lingkaran adalah:
r1 = 4 cm dan r2 = 9 cm,
Kedua lingkaran berhimpit di luar, maka jarak kedua titik pusatnya (MN) adalah:

Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam
Bagaimanakah kita dapat menghitung panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran?
Perhatikan animasi!
Lingkaran O dan Q adalah dua lingkaran saling lepas, jari-jari lingkaran O adalah r1 dan jari-jari lingkaran Q adalah r2. Garis OQ menggambarkan jarak titik pusat kedua lingkaran dengan panjang d cm. AB garis singgung persekutuan dalam dengan panjang k cm.
Pada animasi, terlihat garis AB digeser ke ke garis PQ sejauh BQ atau sejauh r2, maka terbentuk segitiga siku-siku OPQ. Panjang PQ dapat dihitung dengan teorema Pythagoras, yaitu:
Karena PQ merupakan hasil pergeseran garis singgung persekutuan dalam AB,
maka panjang PQ = panjang AB, sehingga panjang garis singgung persekutuan dalam AB adalah:
AB  = k cm
OQ = d cm, maka panjang garis singgung persekutuan dalam dapat ditulis sebagai berikut:
Contoh Soal:
1.
Diketahui dua buah lingkaran masing-masing berjari-jari 15 cm dan 9 cm. Jarak kedua titik pusatnya adalah 30 cm. Berapa panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut?
Jawab:
Kedua lingkaran jika digambarkan akan terlihat seperti gambar di samping.
Diketahui:
r1 = 15 cm
r2 = 9 cm
OQ = 30 cm
Panjang garis singgung persekutuan dalam AB adalah:
2.
 Panjang garis singgung persekutuan dalam dua buah lingkaran adalah 20 cm. Jarak kedua titik pusatnya adalah 25 cm. Jika jari-jari salah satu llingkaran adalah 9 cm, berapa panjang jari-jari lingkaran yang lain?
Jawab:
Diketahui:
Panjang garis singgung persekutuan dalam (k) = 20 cm
Jarak titik pusat kedua lingkaran (d) = 25 cm
Jari-jari lingkaran pertama (r1) = 9 cm
Panjang jari-jari lingkaran yang lain (r2) adalah:
kembali ke atas

Penerapan Garis Singgung Lingkaran
tiga botol berbentuk tabung yang diikat menjadi satu

Pernahkah kamu mengikat tiga benda yang yang penampangnya berbentuk lingkaran seperti pada photo di atas? Bagaimana kita dapat menghitung panjang tali minimal yang dibutuhkan untuk mengikat ketiga benda tersebut?
Pada photo terdapat tiga botol yang penampangnya berupa lingkaran yang diikat dengan tali. Diameter ketiga lingkaran tersebut sama. Keadaan seperti itu dapat kita gambarkan sebagai berikut.
Perhatikan pada gambar penampang tiga lingkaran yang berdiamater sama yang diikat seutas tali. AB, CD dan EF adalah garis singgung persekutuan luar yang panjangnya sama.
AB = CD = EF = 2r = d    (r = jari-jari dan d = diameter)
PQR sama sisi, panjang PQ = QR = PR = 2r = d, maka
PQR = 60o
Perhatikan pada lingkaran Q,
BQC = 360o – ( PQB + CQR + PQR)
           = 360o – (90o + 90o + 60o)
           = 360o – 240o
           = 120o
Demikian pula APF = DRE = 120o.


Contoh soal:
Tiga lingkaran diketahui masing-masing berdiameter 14 cm.
Berapakah panjang tali minimal yang mengikat ketiga lingkaran seperti pada gambar ini?